ARTIKEL TENTANG LINGKARAN
Lingkaran, yaitu bangun datar
yang terbentuk dari himpunan semua titik persekitaran yang mengelilingi suatu
titik asal dengan jarak yang sama. jarak tersebut biasanya dinamakan r, atau radius,
atau jari-jari. Sifat lingkaran yaitu memiliki simetri lipat dan simetri putar
yang tak terhingga jumlahnya.Berikut ini gambar lingkaran :
Rumus Luas lingkaran
Rumus Keliling Lingkaran
Rumus mencari Diameter Lingkaran
sebuah lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang dalam jarak tertentu, yang disebut jari-jari,
dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat. Lingkaran adalah contoh
dari kurva tertutup
sederhana, membagi bidang menjadi bagian dalam dan bagian luar.
Elemen-elemen
yang terdapat pada lingkaran, yaitu :
- Elemen lingkaran yang berupa
titik, yaitu :
- Titik pusat (P)
merupakan titik tengah lingkaran, dimana jarak titik tersebut dengan titik manapun pada lingkaran selalu tetap.
- Elemen lingkaran yang berupa
garisan, yaitu :
- Jari-jari (R)
merupakan garis lurus yang menghubungkan titik pusat dengan lingkaran. - Tali busur (TB)
merupakan garis lurus di dalam lingkaran yang memotong lingkaran pada dua titik yang berbeda. - Busur (B)
merupakan garis lengkung baik terbuka, maupun tertutup yang berimpit dengan lingkaran. - Keliling lingkaran (K)
merupakan busur terpanjang pada lingkaran. - Diameter (D)
merupakan tali busur terbesar yang panjangnya adalah dua kali dari jari-jarinya. Diameter ini membagi lingkaran sama luas. - Apotema
merupakan garis terpendek antara tali busur dan pusat lingkaran.
- Elemen lingkaran yang berupa
luasan, yaitu :
- Juring (J)
merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh busur dan dua buah jari-jari yang berada pada kedua ujungnya. - Tembereng (T)
merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh sebuah busur dengan tali busurnya. - Cakram (C)
merupakan semua daerah yang berada di dalam lingkaran. Luasnya yaitu jari-jari kuadrat dikalikan dengan pi. Cakram merupakan juring terbesar.
Persamaan
Suatu
lingkaran memiliki persamaan
dengan adalah jari-jari
lingkaran dan adalah koordinat
pusat lingkaran.
Jika pusat
lingkaran terdapat di , maka persamaan di
atas dapat dituliskan sebagai
Bentuk
persamaan lingkaran dapat dijabarkan juga menjadi bentuk
dengan adalah
jari-jari lingkaran dan adalah
koordinat pusat lingkaran. Bentuk persamaan tersebut dikenal sebagai bentuk
umum persamaan lingkaran.
Persamaan parametrik
yang apabila
dibiarkan menjalani t akan dibuat suatu lintasan berbentuk lingkaran
dalam ruang x-y.
Luas lingkaran
Luas
lingkaran
Luas
lingkaran memiliki rumus
yang dapat
diturunkan dengan melakukan integrasi elemen luas suatu lingkaran
dalam
koordinat polar, yaitu
Dengan cara
yang sama dapat pula dihitung luas setengah lingkaran, seperempat lingkaran,
dan bagian-bagian lingkaran. Juga tidak ketinggalan dapat dihitung luas suatu
cincin lingkaran dengan jari-jari dalam dan jari-jari luar .
Penjumlahan elemen juring
Luas
lingkaran dapat dihitung dengan memotong-motongnya sebagai elemen-elemen dari
suatu juring untuk kemudian disusun ulang menjadi sebuah persegi panjang yang
luasnya dapat dengan mudah dihitung. Dalam gambar r berarti sama dengan R
yaitu jari-jari lingkaran.
Luas juring
Luas juring
suatu lingkaran dapat dihitung apabila luas lingkaran dijadikan fungsi dari R
dan θ, yaitu;
dengan
batasan nilai θ adalah antara 0 dan 2π. Saat θ
bernilai 2π, juring yang dihitung adalah juring terluas, atau luas lingkaran.
Luas cincin lingkaran
Suatu cincin
lingkaran memiliki luas yang bergantung pada jari-jari dalam dan jari-jari luar , yaitu
di mana
untuk rumus ini kembali
menjadi rumus luas lingkaran.
Luas potongan cincin lingkaran
Dengan
menggabungkan kedua rumus sebelumnya, dapat diperoleh
yang
merupakan luas sebuah cincin tak utuh.
Keliling lingkaran
Keliling
lingkaran memiliki rumus:
Panjang busur lingkaran
Panjang
busur suatu lingkaran dapat dihitung dengan menggunakan rumus
yang
diturunkan dari rumus untuk menghitung panjang suatu kurva
di mana
digunakan
sebagai
kurva yang membentuk lingkaran. Tanda mengisyaratkan bahwa
terdapat dua buah kurva, yaitu bagian atas dan bagian bawah. Keduanya identik
(ingat definisi lingkaran), sehingga sebenarnya hanya perlu dihitung sekali dan
hasilnya dikalikan dua.
π(Pi)
Nilai pi adalah suatu besaran yang merupakan sifat khusus dari lingkaran, yaitu
perbandingan dari keliling K dengan diameternya D:
Persamaan lingkaran
Lingkaran
dengan jari-jari r=1, berpusat di (a,b)=(1,2 , 0,5)
Persamaan
Lingkaran adalah
tempat kedudukan titik-titik (x,y) yang berjarak sama terhadap satu titik
tertentu.
Persamaan
umum lingkaran adalah:
Mencari
jarak antara 2 titik A (x1,y1) dan B (x2,y2):
Mencari
jarak antara titik A (x1,y1) dan garis Ax+By+C=0 :
Mencari
jari-jari (r) jika diketahui persamaan lingkaran :
Contoh 1:
Tentukan
persamaan lingkaran yang berpusat di A(2,7) dan melalui B(5,3)!
Jawab:
Contoh 2:
Tentukan
persamaan lingkaran yang berpusat di puncak parabola dan menyinggung
garis !
Jawab:
maka berarti
titik pusatnya berada pada koordinat (1,4).
Kedudukan garis terhadap lingkaran
Untuk mengetahui
kedudukan/ posisi sebuah garis terhadap lingkaran, substitusikan garis terhadap
lingkaran sehingga didapatkan bentuk ax2+bx+c=0.
Lihat
diskriminannya:
Jika
- D<0, berarti garis berada di
luar lingkaran (tidak memotong lingkaran)
- D=0, berarti garis menyinggung
lingkaran
- D>0, berarti garis memotong
lingkaran di 2 titik berbeda.
Contoh 1:
- Tentukan posisi garis:
- terhadap lingkaran
Jawab:
Karena , maka garis berada
di luar lingkaran.
Contoh 2:
- Tentukan p agar garis terletak di
luar lingkaran !
Jawab:
syarat:
atau
Gambar
dengan garis bilangan untuk pertidaksamaan diatas, maka akan didapatkan nilai
p: atau
Persamaan garis singgung lingkaran
Persamaan garis singgung untuk suatu titik (x1,y1)
yang terletak pada lingkaran
- Jika persamaan lingkaran , maka
persamaan garis singgungnya:
- Jika persamaan lingkaran ,
maka persamaan garis singgungnya:
- Jika persamaan lingkaran
berbentuk ,
maka persamaan garis singgungnya:
Persamaan
lingkaran dapat
juga diubah menjadi dengan
kuadrat sempurna, sehingga rumus yang harus dihafalkan jadi lebih sedikit.
SEKIAN DAN TERIMA KASIH