Things that we learned

Minggu, 29 November 2015

beranda

ARTIKEL TENTANG LINGKARAN
Lingkaran, yaitu bangun datar yang terbentuk dari himpunan semua titik persekitaran yang mengelilingi suatu titik asal dengan jarak yang sama. jarak tersebut biasanya dinamakan r, atau radius, atau jari-jari. Sifat lingkaran yaitu memiliki simetri lipat dan simetri putar yang tak terhingga jumlahnya.
Berikut ini gambar lingkaran :
lingkaran

Rumus Luas lingkaran
luas-lingkaran[38]

Rumus Keliling Lingkaran
keliling-lingkaran[7]


Rumus mencari Diameter Lingkaran
diameter-lingkaran[3]
sebuah lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang dalam jarak tertentu, yang disebut jari-jari, dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat. Lingkaran adalah contoh dari kurva tertutup sederhana, membagi bidang menjadi bagian dalam dan bagian luar.

Elemen-elemen yang terdapat pada lingkaran, yaitu :
  • Elemen lingkaran yang berupa titik, yaitu :
    1. Titik pusat (P)
      merupakan titik tengah lingkaran, dimana jarak titik tersebut dengan titik manapun pada lingkaran selalu tetap.
  • Elemen lingkaran yang berupa garisan, yaitu :
    1. Jari-jari (R)
      merupakan garis lurus yang menghubungkan titik pusat dengan lingkaran.
    2. Tali busur (TB)
      merupakan garis lurus di dalam lingkaran yang memotong lingkaran pada dua titik yang berbeda.
    3. Busur (B)
      merupakan garis lengkung baik terbuka, maupun tertutup yang berimpit dengan lingkaran.
    4. Keliling lingkaran (K)
      merupakan busur terpanjang pada lingkaran.
    5. Diameter (D)
      merupakan tali busur terbesar yang panjangnya adalah dua kali dari jari-jarinya. Diameter ini membagi lingkaran sama luas.
    6. Apotema
      merupakan garis terpendek antara tali busur dan pusat lingkaran.
  • Elemen lingkaran yang berupa luasan, yaitu :
    1. Juring (J)
      merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh busur dan dua buah jari-jari yang berada pada kedua ujungnya.
    2. Tembereng (T)
      merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh sebuah busur dengan tali busurnya.
    3. Cakram (C)
      merupakan semua daerah yang berada di dalam lingkaran. Luasnya yaitu jari-jari kuadrat dikalikan dengan pi. Cakram merupakan juring terbesar.
  • https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c7/Lingkaran.png
Persamaan
Suatu lingkaran memiliki persamaan
(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2 \!
dengan R\!adalah jari-jari lingkaran dan (x_0,y_0)\!adalah koordinat pusat lingkaran.
Jika pusat lingkaran terdapat di (0,0) \!, maka persamaan di atas dapat dituliskan sebagai
x^2 + y^2 = R^2 \!
Bentuk persamaan lingkaran dapat dijabarkan juga menjadi bentuk
x^2 + Ax + y^2 + By + C = 0 \!
dengan \sqrt{\frac{A^2 + B^2}{4} - C} \!adalah jari-jari lingkaran dan (- \frac{A}{2}, -\frac{B}{2}) \!adalah koordinat pusat lingkaran. Bentuk persamaan tersebut dikenal sebagai bentuk umum persamaan lingkaran.
Persamaan parametrik
Lingkaran dapat pula dirumuskan dalam suatu persamaan parameterik, yaitu
x = x_0 + R \cos(t) \!
y = y_0 + R \sin(t) \!
yang apabila dibiarkan menjalani t akan dibuat suatu lintasan berbentuk lingkaran dalam ruang x-y.
Luas lingkaran
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ce/Circle_Area.svg/150px-Circle_Area.svg.png
Luas lingkaran
Luas lingkaran memiliki rumus
A = \pi R^2 \!
yang dapat diturunkan dengan melakukan integrasi elemen luas suatu lingkaran
dA = rd\theta\ dr
dalam koordinat polar, yaitu
\int dA = \int_{r=0}^R \int_{\theta=0}^{2\pi} rd\theta\ dr = \int_{r=0}^R rdr \int_{\theta=0}^{2\pi} d\theta = \frac 1 2 (R^2-0^2) \ (2\pi-0) = \pi R^2 \!
Dengan cara yang sama dapat pula dihitung luas setengah lingkaran, seperempat lingkaran, dan bagian-bagian lingkaran. Juga tidak ketinggalan dapat dihitung luas suatu cincin lingkaran dengan jari-jari dalam R_1\!dan jari-jari luar R_2\!.
Penjumlahan elemen juring
Area of a circle.svg
Luas lingkaran dapat dihitung dengan memotong-motongnya sebagai elemen-elemen dari suatu juring untuk kemudian disusun ulang menjadi sebuah persegi panjang yang luasnya dapat dengan mudah dihitung. Dalam gambar r berarti sama dengan R yaitu jari-jari lingkaran.
Luas juring
Luas juring suatu lingkaran dapat dihitung apabila luas lingkaran dijadikan fungsi dari R dan θ, yaitu;
A(R,\theta) = \frac 1 2 R^2 \theta \!
dengan batasan nilai θ adalah antara 0 dan 2π. Saat θ bernilai 2π, juring yang dihitung adalah juring terluas, atau luas lingkaran.
Luas cincin lingkaran
Suatu cincin lingkaran memiliki luas yang bergantung pada jari-jari dalam R_1\!dan jari-jari luar R_2\!, yaitu
A_{cincin} = \pi (R_2^2 - R_1^2) \!
di mana untuk R_1 = 0\!rumus ini kembali menjadi rumus luas lingkaran.
Luas potongan cincin lingkaran
Dengan menggabungkan kedua rumus sebelumnya, dapat diperoleh
A_{potongan\ cincin} = \frac \pi 2 (R_2^2 - R_1^2) \theta \!
yang merupakan luas sebuah cincin tak utuh.
Keliling lingkaran
Keliling lingkaran memiliki rumus:
K = 2\pi R\!
Panjang busur lingkaran
Panjang busur suatu lingkaran dapat dihitung dengan menggunakan rumus
L = R \theta \!
yang diturunkan dari rumus untuk menghitung panjang suatu kurva
dL = \int \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx}\right) ^2 } dx \!
di mana digunakan
y = \pm \sqrt{R^2 - x^2} \!
sebagai kurva yang membentuk lingkaran. Tanda \pmmengisyaratkan bahwa terdapat dua buah kurva, yaitu bagian atas dan bagian bawah. Keduanya identik (ingat definisi lingkaran), sehingga sebenarnya hanya perlu dihitung sekali dan hasilnya dikalikan dua.
π(Pi)
Nilai pi adalah suatu besaran yang merupakan sifat khusus dari lingkaran, yaitu perbandingan dari keliling K dengan diameternya D:

Persamaan lingkaran
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/83/Circle_center_a_b_radius_r.svg/300px-Circle_center_a_b_radius_r.svg.png
Lingkaran dengan jari-jari r=1, berpusat di (a,b)=(1,2 , 0,5)
Persamaan Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik (x,y) yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu.
Persamaan umum lingkaran adalah:
\boldsymbol (x-x_p)^2 + (y-y_p)^2 = r^2
Mencari jarak antara 2 titik A (x1,y1) dan B (x2,y2):
r = \sqrt { (x_1-x_2)^2 + (y_2-y_1)^2}
Mencari jarak antara titik A (x1,y1) dan garis Ax+By+C=0 :
d = \left\vert \frac {Ax_1+By_1+C}{\sqrt {A^2+B^2}} \right\vert
Mencari jari-jari (r) jika diketahui persamaan lingkaran x^2 + y^2 + Ax + By + C=0:
r= \sqrt {\frac {1}{4}A^2 + \frac {1}{4}B^2 - C}
Contoh 1:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di A(2,7) dan melalui B(5,3)!
Jawab:
r= \sqrt { (5-2)^2 + (3-7)^2}
r= \sqrt {25}
r= 5
\boldsymbol (x-x_p)^2 + (y-y_p)^2 = r^2
\boldsymbol (x-2)^2 + (y-7)^2 = 25
x^2+y^2-4x-14y+28=0
Contoh 2:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di puncak parabola y=x^2-2x+5dan menyinggung garis 3x+4y+5=0!
Jawab:
y=x^2-2x+5
x_p = - \frac {b}{2a} = - (\frac {-2}{2})= 1
y_p = 1^2 - 2 \times 1 + 5 = 4
maka berarti titik pusatnya berada pada koordinat (1,4).
3x+4y+5=0
A=3, B=4, C=5
d = r = \left\vert \frac {Ax_1+By_1+C}{\sqrt {A^2+B^2}} \right\vert
d = r = \left\vert \frac {3 \times 1 + 4 \times 4 + 5}{\sqrt {3^2+4^2}} \right\vert
d = r = \frac {24}{5}
\boldsymbol (x-x_p)^2 + (y-y_p)^2 = r^2
\boldsymbol (x-1)^2 + (y-4)^2 = \frac {576}{25}
x^2+y^2-2x-8y+17 - \frac {576}{25}=0
25x^2+ 25y^2 - 50x - 200y - 151=0
Kedudukan garis terhadap lingkaran
Untuk mengetahui kedudukan/ posisi sebuah garis terhadap lingkaran, substitusikan garis terhadap lingkaran sehingga didapatkan bentuk ax2+bx+c=0.
Lihat diskriminannya: D=b^2-4 ac
Jika
  • D<0, berarti garis berada di luar lingkaran (tidak memotong lingkaran)
  • D=0, berarti garis menyinggung lingkaran
  • D>0, berarti garis memotong lingkaran di 2 titik berbeda.
Contoh 1:
  • Tentukan posisi garis:
    • y= x+10 terhadap lingkaran x^2+y^2= 9
Jawab:
x^2 + (x+10)^2=9
x^2+ (x^2+20x+100)-9=0
2x^2 +20x+91=0
D=b^2-4 ac
D=20^2- 4\times 91 \times 2
D= 400-728= -328
Karena D<0, maka garis berada di luar lingkaran.
Contoh 2:
  • Tentukan p agar garis y= -x+pterletak di luar lingkaran x^2+y^2-2x-4y+3=0!
Jawab:
x^2+ (-x+p)^2 - 2x- 4(-x+p)+ 3=0
2x^2 - 2px + p^2 - 2x + 4x -4p + 3=0
2x^2 + (2-2p)x + p^2 -4p + 3=0
syarat: D<0
(2-2p)^2-4(2)(p^2-4p+3)<0
4p^2-8p+4-8p^2+32p-24<0
-4p^2+24p-20<0
-4(p^2-6p+5)<0
-4(p-5)(p-1)<0
p=5 atau p=1
Gambar dengan garis bilangan untuk pertidaksamaan diatas, maka akan didapatkan nilai p: p<1 atau p>5
Persamaan garis singgung lingkaran
Persamaan garis singgung untuk suatu titik (x1,y1) yang terletak pada lingkaran
  • Jika persamaan lingkaran x^2+y^2=r^2, maka persamaan garis singgungnya:
x_1x + y_1y = r^2

  • Jika persamaan lingkaran (x-x_p)^2+ (y-y_p)^2=r^2, maka persamaan garis singgungnya:
(x_1-x_p)(x-x_p) + (y_1-y_p)(y-y_p) = r^2

  • Jika persamaan lingkaran berbentuk x^2 + y^2 + Ax + By + C =0, maka persamaan garis singgungnya:
x_1x + y_1y + \frac {1}{2} A(x+x_1) + \frac {1}{2} B(y+y_1)+C=0
Persamaan lingkaran x^2 + y^2 + Ax + By + C =0dapat juga diubah menjadi (x-x_p)^2+ (y-y_p)^2=r^2dengan kuadrat sempurna, sehingga rumus yang harus dihafalkan jadi lebih sedikit.

SEKIAN DAN TERIMA KASIH
Diposting oleh di Tidak ada komentar:
Langganan: Postingan (Atom)